Module et argument - Corrigé

Énoncé

Pour chaque nombre complexe suivant, déterminer le module et un argument.

1. \(z_1=\dfrac{1}{3}\text e^{\frac{4i\pi}{7}}\)

2. \(z_2=\sqrt{3} \text e^{-\frac{i\pi}{5}}\)

3. \(z_3=-3\text e^{\frac{i\pi}{4}}\)

4.  \(z_4= 2\pi \text e^{-\frac{i\pi}{3}}\)

Solution

1.  \(z_1\) est écrit sous forme exponentielle, donc \(\) \(\left\vert z_1 \right\vert = \dfrac{1}{3}\) et \(\arg(z_1) \equiv \dfrac{4\pi}{7} \ [2\pi]\) .

2. \(z_2\) est écrit sous forme exponentielle, donc  \(\left\vert z_2 \right\vert = \sqrt{3}\) et  \(\arg(z_2) \equiv -\dfrac{\pi}{5} \ [2\pi]\) .

3. \(z_3\) n'est pas écrit sous forme exponentielle, mais sa forme exponentielle est :
\(\begin{align*}z_3=-3\text e^{\frac{i\pi}{4}}= 3\text e^{i\pi} \times \text e^{\frac{i\pi}{4}}= 3\text e^{i\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)}= 3\text e^{\frac{5i\pi}{4}}\end{align*}\) donc  \(\left\vert z_3 \right\vert = 3\)   et  \(\arg(z_3) \equiv \dfrac{5\pi}{4} \ [2\pi]\) .

4.  \(z_4\)  est écrit sous forme exponentielle, donc \(\left\vert z_4 \right\vert = 2\pi\)  et  \(\arg(z_4) \equiv -\dfrac{\pi}{3} \ [2\pi]\) .